素数网格：一种自然数的几何表示

在本报告中，我们提出正整数的一种脱离数轴表示法：将每个整数以其唯一的素数签名表示为以素数为指标的无限维空间中的一个网格点，我们称之为素数网格。在此空间中我们考虑一条之字形线，称为数径，它从原点（表示 1）出发，按自然数递增序列的顺序穿过每一个网格点。利用无穷范数我们定义一个算术函数 $L_\infty (N)$，记录到整数 $N$ 为止的之字形总长度。我们证明 $L_\infty(N)$ 随 $N$ 线性增长。基于计算到 $N=10^{12}$ 的 $L_\infty$，我们猜想其确切增长率，并通过构造一系列给出逐渐更好逼近的 Markov 移位在解析上予以证实。我们的另一兴趣是考察沿 $L_\infty$ 的素数间隙，即每两个连续素数之间的差 $L_\infty (p_{i+1} )-L_\infty (p_i )$。在若干初步观察后，我们将此分析也推广到二阶差分（差的差）。基于我们计算到 $N=10^{12}$ 的结果，我们得出结论：沿数径的素数分布相比其在传统数轴上的分布展现出丰富得多的结构。我们还给出了素数定理和 Polignac 猜想的修正版本。