解决Dixon与Pressman猜想的图论方法

给定$n \times n$矩阵$A_1, \dots, A_k$，考虑线性算子$L(A_1,\dots,A_k) \colon \; \operatorname{M}_n \to \operatorname{M}_n$，定义为 $$L(A_1,\dots,A_k)(A_{k+1})= \sum_{\sigma\in S_{k+1}} \operatorname{sign}(\sigma) A_{\sigma(1)}A_{\sigma(2)} \cdots A_{\sigma(k+1)}.$$ Amitsur-Levitzki定理断言，对每个$k \geq 2n-1$，$L(A_1, \ldots, A_k)$恒为$0$。Dixon与Pressman猜想，若$k$是介于$2$与$2n - 2$之间的偶数，则对一般位置的$A_1, \ldots, A_k\in \operatorname{M}_n(\mathbb{R})$，算子$L(A_1, \ldots, A_k)$的核维数为$k$。我们利用图论技术证明了该猜想。