规范双曲偏微分方程的一个粘合问题

在本项目中，我们研究临界耦合下三维双曲阿贝尔-希格斯模型。该方程二维版本的稳态解由Jaffe和Taubes发现，即所谓的$N$涡旋构型。可以将所有$N$涡旋构型的空间$M_N$视为一个光滑黎曼流形。Stuart已证明，在临界耦合区域附近，对于合适的初始数据，二维动力学可由模空间$M_2$上的有限维哈密顿系统近似。本文研究如何粘合$N$涡旋构型以构造三维动力学解。具体而言，我们证明：若$q:[0,T)\times \mathbb{R}\to M_N$是一个波映射，则对于足够小的$\epsilon>0$，存在某个$T_0>0$，使得在$[0,\frac{T_0}{\epsilon})\times \mathbb{R}^3$上存在$(1+3)$维阿贝尔-希格斯模型的解，该解在$\epsilon$意义下接近$(\phi,\alpha)(.;q(\epsilon t,\epsilon z))$，其中$(\phi,\alpha)(.)$表示相应$N$涡旋构型的变量。此外，其他规范场变量在$\epsilon$意义下很小。本论文由Robert Jerrard教授指导。