周期函数拐点的全局理论

对于 R 上实值周期光滑函数 u，对 $n\ge 0$，定义点 $s\in R$ 处的密切多项式 $\phi_s$（阶为 2n+1）为次数 n 的唯一三角多项式，其在 s 处的值与前 2n 阶导数在 s 处与 u 的在 s 处一致。我们称点 s 为函数 u 在 $S^1$ 上的干净极大拐点（相应地为干净极小拐点）当且仅当 $\phi_s\ge u$（相应地为 $\phi_s\le u$）且原像 $(\phi-u)^{-1}(0)$ 连通。我们证明任意光滑周期函数 u 至少有 n+1 个阶为 2n+1 的干净极大拐点，以及至少 n+1 个阶为 2n+1 的干净极小拐点。该断言明显令人联想到 Morse 理论，并推广了凸平面曲线的经典四顶点定理。