Kaplansky 直接有限性猜想的几何推广

设 $G$ 为一个群，$k$ 为一个域。Kaplansky 直接有限性猜想断言群环 $k[G]$ 的每一个单侧单位必为双侧单位。本文中，我们建立了符号代数簇自同态的一个几何直接有限性定理。当 $G$ 为 sofic 群或更一般地 surjunctive 群时，我们的结果蕴含了 Kaplansky 直接有限性猜想对于近环 $R(k, G)$ 的一个推广，该近环作为群为 $k[X_g\colon g \in G]$，并自然地将 $k[G]$ 包含为一次齐次多项式的子环。我们还证明了 Kaplansky 稳定有限性猜想是 Gottschalk 的 Surjunctivity 猜想的推论。