Deza--Erdős--Frankl 定理的广义 Turán 扩展

对于整数 $r \ge 3$ 和子集 $L \subset [0,r-1]$，如果图 $G$ 中每一对 $K_r$ 的交集的顶点数属于 $L$，则称图 $G$ 为 $(K_{r}, L)$-相交的。我们研究了 $n$ 顶点 $(K_{r}, L)$-相交图中 $K_r$ 的最大数量。著名的 Ruzsa--Szemerédi 定理对应于 $r=3$ 且 $L = \{0,1\}$ 的情形。对于满足 $2 \le |L| \le r-1$ 的一般 $L$，我们针对较大的 $n$ 确立了上界 $\left(1-\frac{1}{3r}\right) \prod_{\ell \in L}\frac{n-\ell}{r- \ell}$，这比著名的 Deza--Erdős--Frankl 定理提供的上界改进了 $1-\frac{1}{3r}$ 的因子。在 $L = \{t, t+1, \ldots, r-1\}$ 的特殊情形下，我们针对较大的 $n$ 导出了精确上界，并建立了相应的稳定性结果。这是 Erdős--Ko--Rado 定理关于 $t$-相交系统在广义 Turán 设定下的扩展。我们关于 Deza--Erdős--Frankl 部分的证明涉及 $\Delta$-系统方法与 Turán 定理的有趣结合。同时，对于 Erdős--Ko--Rado 部分，我们采用了稳定性方法，该方法依赖于 Frankl 关于 $t$-相交系统的一个定理。