Schur函数的推广：在Nevanlinna函数、正交多项式、随机游走与酉及开放量子游走中的应用
泛函分析
2017-02-23 v2 经典分析与常微分方程
概率论
量子物理
摘要
近期关于量子游走中重现性的研究提供了用酉算子表示Schur函数的方法。我们提出Schur函数的推广，将上述算子表示扩展至Banach空间上的任意算子。此类广义Schur函数符合首返生成函数的形式结构，故称之为FR-函数。我们推导了FR-函数的一般性质，其中包括对随机与量子游走中已知的更新方程的推广，以及推广了Schur函数有用因式分解的分裂性质。当专用于自伴算子时，FR-函数成为Nevanlinna函数。这带来了关于Nevanlinna函数的新结果：作为Schur函数有用因式分解类比的分解规则、Schur算法的简单Nevanlinna版本，以及Nevanlinna函数的新的算子与积分表示——与标准表示不同，它们是已知Schur函数表示的精确类比，同样给出了Nevanlinna函数与实线上测度的一一对应。论文最后给出了FR-函数在正交多项式及随机与量子游走中的若干应用，阐明了其广泛意义：实线上正交多项式对单位圆上正交多项式Khrushchev公式的类比，以及利用FR-函数研究随机游走、量子游走与开放量子游走中的重现性。这些应用提供了大量FR-函数及其分裂的显式例子，并表明这些新工具虽为经典工具的推广，却在高度前沿的物理问题研究中发挥重要作用。
引用
@article{arxiv.1702.04032,
title = {A generalization of Schur functions: applications to Nevanlinna functions, orthogonal polynomials, random walks and unitary and open quantum walks},
author = {F. Alberto Grünbaum and Luis Velázquez},
journal= {arXiv preprint arXiv:1702.04032},
year = {2017}
}
备注
98 pages