QR 分解到非欧几里得范数的推广

我提出一种利用非欧几里得范数来构造类 QR 分解的方法,该方法可以揭示非欧几里得范数有趣且潜在有用的性质——例如 $l^1$ 范数抑制离群值或促进稀疏性的能力。矩阵 $\mathbf{A}$ 的经典 QR 分解计算上三角矩阵 $\mathbf{R}$ 和正交矩阵 $\mathbf{Q}$ 使得 $\mathbf{A} = \mathbf{QR}$。为了将此分解推广到非欧几里得范数 $\| \cdot \|$ ,我放宽了对 $\mathbf{Q}$ 的正交性要求,转而要求其条件数 $\kappa \left ( \mathbf{Q} \right ) = \| \mathbf{Q} ^{-1} \| \| \mathbf{Q} \|$ 独立于 $\mathbf{A}$ 有界。我给出了计算 $\mathbf{Q}$ 和 $\mathbf{R}$ 的算法,并证明该算法得到的 $\mathbf{Q}$ 具有所需性质。我还证明该算法推广了经典 QR 分解:当范数选为欧几里得范数 $\| \cdot \|=\| \cdot \|_2$ 时,$\mathbf{Q}$ 是正交的。最后我给出了用 $l^1$ 和 $l^{\infty}$ 范数验证数学结果的数值结果。我提供了用于实验的 Python 代码。