正交矩阵的无约束表示及其在公共主成分中的应用

许多统计问题涉及对 $\left(d\times d\right)$ 正交矩阵 $\textbf{Q}$ 的估计。由于 $\textbf{Q}$ 上的正交约束，此类估计通常具有挑战性。为应对该问题，我们提出一种非常简单的正交矩阵分解，简称为 PLR 分解。它在 $\textbf{Q}$ 与一个 $\left(d\times d\right)$ 单位下三角矩阵 $\textbf{L}$ 之间建立一一对应，其中 $\textbf{L}$ 对角线下方的 $d\left(d-1\right)/2$ 个元素为无约束实数值。一旦应用该分解，无论考虑何种目标函数，我们均可使用任何经典的无约束优化方法来寻找关于 $\textbf{L}$ 的目标函数最小值（或最大值）。为说明目的，我们将 PLR 分解应用于公共主成分分析（CPCA），在各组假定多元 leptokurtic-normal 分布时对有公共正交矩阵进行最大似然估计。与常用的正态分布相比，leptokurtic-normal 具有一个额外的控制超额峰度的参数；这使得 CPCA 中 $\textbf{Q}$ 的估计对温和离群点更为稳健。PLR 分解在 leptokurtic-normal CPCA 中的效用通过两个生物特征数据分析加以说明。