Gelfand-Naimark-Stone 对偶到完全正则空间的推广

Gelfand-Naimark-Stone 对偶建立了紧 Hausdorff 空间范畴 ${\sf KHaus}$ 与一致完备有界阿基米德 $\ell$-代数范畴 ${\boldsymbol{\mathit{uba}\ell}}$ 之间的对偶等价。我们将该对偶推广到完全正则空间范畴 ${\sf CReg}$。为此，我们首先引入有界阿基米德 $\ell$-代数的基本扩张，并将 Gelfand-Naimark-Stone 对偶推广为一致完备基本扩张范畴 ${\boldsymbol{\mathit{ubasic}}}$ 与完全正则空间紧化范畴 ${\sf C}$ 之间的对偶等价。随后我们引入极大基本扩张，并证明由极大基本扩张构成的 ${\boldsymbol{\mathit{ubasic}}}$ 的子范畴 ${\boldsymbol{\mathit{mbasic}}}$ 与由 Stone-\v{C}ech 紧化构成的 ${\sf Comp}$ 的子范畴 ${\sf SComp}$ 对偶等价。由于 ${\sf CReg}$ 等价于 ${\sf SComp}$，这便给出了完全正则空间所需的对偶等价。