三角函数的尼文定理通用化

尼文定理断言：$\{\cos(r\pi)|r\in \mathbb{Q}\}\cap\mathbb{Q} = \{0, \pm 1, \pm\frac{1}{2}\}$。本文采用初等方法，对集合$\{\cos^n(r\pi)|r\in \mathbb{Q}, n \in \mathbb{N}\}\cap\mathbb{Q}$和$\{\sin^n(r\pi)|r\in \mathbb{Q}, n \in \mathbb{N}\}\cap\mathbb{Q}$中所有元素进行分类。通过运用某些代数数论手段，将其扩展至对$\{\tan^n(r\pi)|r\in \mathbb{Q}, n \in \mathbb{N}\}\cap\mathbb{Q}$中所有元素的分类。最后，本文提供一个简短的伽罗瓦论证，以更概念化的方式阐释所得结果。