Dirac 型定理横截版本的一般处理方法

给定具有相同顶点集的超图集合 $\textbf{H}=(H_1,\ldots,H_m)$，若 $m$-边图 $F\subset \cup_{i\in [m]}H_i$ 存在双射 $\phi:E(F)\to [m]$ 使得对每个 $e\in E(F)$ 有 $e\in E(H_{\phi(e)})$，则称 $F$ 为一个横截。每个 $H_i$ 的最小度需要多大，才能确保 $\textbf{H}$ 必然包含一个作为横截的 $F$ 的拷贝？集合中每个 $H_i$ 可以是同一超图，因此每个 $H_i$ 的最小度需足够大以保证 $F\subseteq H_i$。自 Joos 与 Kim [Bull. Lond. Math. Soc., 2020, 52(3):498-504] 总体引入该问题以来，越来越多的工作表明在许多情形下此下界是紧的。本文通过给出使该下界渐近紧的广泛适用的充分条件，对此问题提供统一处理。这足够一般，可恢复该领域许多先前结果，并获得若干经典 Dirac 型结果（关于哈密顿圈及其幂）的新横截变体。例如，我们推导出：顶点集大小为 $n$ 的任意 $rn$ 个图的集合，若每个图最小度至少为 $(r/(r+1)+o(1))n$，则包含一个哈密顿圈第 $r$ 次幂的横截拷贝。这可视为 P\'osa-Seymour 猜想的彩虹版本。