圆周上 Gibbs 概率卷积的熵公式

考虑变换 $T:S^1 \to S^1$，使得 $T(x)=2\, x$ (mod 1)，其中 $S^1$ 为单位圆。假设 $J:S^1 \to \mathbb{R}$ 是 Hölder 连续且正的，并且对于任意 $y\in S^1$，有 $\sum_{x\,\,\text{such that}\,\,\, T(x)= y} \, J(x)=1$。若 $\mathcal{L}_{\log J}^* \,(\rho)=\rho$，其中 $\mathcal{L}_{\log J}$ 是 $\log J$ 的 Ruelle 算子，则称 $\rho$ 为 Hölder 连续势 $\log J$ 的 Gibbs 概率。我们称 $J$ 为 $\rho$ 的 Jacobian。假设 $\nu=\mu_1*\mu_2$ 是两个分别与 $\log J_1$ 和 $\log J_2$ 关联的 Gibbs 概率 $\mu_1$ 和 $\mu_2$ 的卷积。我们证明 $\nu$ 也是 Gibbs 概率，其 Jacobian $\tilde{J}$ 由 $\tilde{J}(u) = \int J_1(u-x) d \mu_2(x)$ 给出。在此情况下，熵 $h(\nu)$ 由表达式 $$h(\nu) = - \int\,[\,\,\int\, \log \,(\,\int J_1(r+s-x) d \mu_2(x)\,) \, d \mu_2(r)\,\, ]\,\,d \mu_1 (s)$$ 给出。对于固定的 $\mu_2$，我们在 Gibbs 概率的 Banach 流形上考虑 $\mu_1$ 的可微变分 $\mu_1^t$，$t \in (-\epsilon,\epsilon)$，其中 $\mu_1^0=\mu_1$，并估计熵 $h(\mu_1^t * \mu_2)$ 在 $t=0$ 处的导数。我们还给出了一个 Gibbs 概率 $\rho$ 与支持在周期为二的周期轨道上的不变概率的卷积的 Jacobian 表达式。该表达式基于 $\rho$ 的 Jacobian 和两个 Radon-Nikodym 导数。