一种基于有限元物理算子学习的任意域时空偏微分方程框架
机器学习
2024-08-07 v3
摘要
我们提出了一种新颖的基于有限元的物理信息算子学习框架，可用于预测由偏微分方程（PDE）支配的时空动力学。该框架采用受有限元方法（FEM）与隐式欧拉时间积分方案启发的损失函数。我们考虑一个瞬态热传导问题来基准测试其性能。所提出的算子学习框架以当前时间步的温度场作为输入，预测下一时间步的温度场。热方程的 Galerkin 离散弱形式被用于将物理规律融入损失函数，这被称为有限元算子学习（FOL）。训练完成后，与 FEM 解相比，网络能以高精度成功预测任意初始温度场随时间的演化。该框架也被证实适用于异质热导率与任意几何形状。FOL 的优势可总结如下：首先，训练以无监督方式进行，避免了从昂贵的模拟或实验中准备大量数据集的需求。相反，由高斯随机过程与傅里叶级数生成的随机温度模式，结合常温场，被用作训练数据以覆盖可能的温度情形。其次，利用形函数与后向差分近似进行区域离散化，得到纯代数方程。这提升了训练效率，因为在优化权重与偏置时避免了耗时的自动微分，同时接受可能的离散误差。最后，得益于 FEM 的插值能力，任意几何形状均可由 FOL 处理，这对解决各种工程应用场景至关重要。
引用
@article{arxiv.2405.12465,
title = {A finite element-based physics-informed operator learning framework for spatiotemporal partial differential equations on arbitrary domains},
author = {Yusuke Yamazaki and Ali Harandi and Mayu Muramatsu and Alexandre Viardin and Markus Apel and Tim Brepols and Stefanie Reese and Shahed Rezaei},
journal= {arXiv preprint arXiv:2405.12465},
year = {2024}
}