三角形与四面体网格上双调和方程的一类混合有限元族

本文引入了一类新的混合有限元，用于求解二维和三维双调和方程的一种混合形式。对称应力 $\bm{\sigma}=-\nabla^{2}u$ 在 Sobolev 空间 $H({\rm{div}}\bm{div},\Omega;\mathbb{S})$ 中求解，同时位移 $u$ 在 $L^{2}(\Omega)$ 中求解。源于 J. Hu 和 S. Zhang 提出的线性弹性问题 $H(\bm{div},\Omega;\mathbb{S})$ 协调元的结构，通过在对 $P_{k}$ 对称张量的 $H(\bm{div},\Omega;\mathbb{S})$ 协调空间上施加 $\bm{div}\bm{\sigma}$ 的法向连续性，构造了 $H({\rm{div}}\bm{div},\Omega;\mathbb{S})$ 协调有限元空间。这种继承性使得基函数易于计算。$u$ 的离散空间由分片 $P_{k-2}$ 多项式组成，无需任何连续性要求。此类混合有限元在 $k\geq 3$ 时在三角形和四面体网格上均满足 inf-sup 稳定性，并达到最优收敛阶。此外，给出了超收敛与后处理结果。提供了一些数值实验以验证理论分析。