一族各向异性积分算子及其最大特征值的行为

我们研究 $L^2(\mathbb R)$ 中的一族紧积分算子 $\mathbf K_\beta$，其核为 $K_\beta(x, y) = \frac{1}{\pi}\frac{1}{1 + (x-y)^2 + \beta^2\Theta(x, y)}$，依赖于参数 $\beta >0$，其中 $\Theta(x, y)$ 是一个次数 $\gamma\ge 1$ 的对称非负齐次函数。主要结果是关于 $\mathbf K_\beta$ 的最大特征值 $M_\beta$ 的如下渐近公式：$M_\beta = 1 - \lambda_1 \beta^{\frac{2}{\gamma+1}} + o(\beta^{\frac{2}{\gamma+1}}), \beta\to 0$，其中 $\lambda_1$ 是算子 $\mathbf A = |d/dx| + \Theta(x, x)/2$ 的最低特征值。证明中的一个核心作用是 $\mathbf K_\beta, \beta>0,$ 是正性改善的这一事实。$\Theta(x, y) = (x^2 + y^2)^2$ 的情形已在早期文献中作为高温超导的简化模型被研究过。