de Rham 型 Serre 猜想及广义 mod $p$ BGG 分解

我们提出了使用 Shimin varieties 特殊纤维的 de Rham 同调来表述 Serre 猜想中权部的几何版本。我们 conjectures 这种表述等价于使用 Serre 权和 Shimin varieties etale 同调的表述。我们证明了对于一般权和一般非-Eisenstein 本征系统（使得 $G_{\mathbb{Q}_p}=GL_3$）的紧凑 $U(2,1)$ Shimin variety，上述等价性成立。我们通过证明 mod $p$ de Rham 同调系数在中间次数的 generic 浓度来实现这一目标。进一步地，我们通过构造 de Rham 同调的广义 mod $p$ BGG 分解来证明这种 generic 浓度。结合我们伴随论文中的结果，这归约为计算某种 mod $p$ 版本 $\mathcal{O}$ 范畴中的 BGG 类解，后者是本文的主要内容。在 $GSp_4$ 情形下，我们也计算了一些显式的 BGG 分解，假设 de Rham 同调在中间次数的 generic 浓度，我们获得了 arXiv:2410.09602 主要结果的一个改进。