多项式Freiman-Ruzsa猜想一个强变体的反例

设$p$为素数。$\mathbb{F}_p$上多项式Freiman-Ruzsa猜想的一种表述如下。若$\phi : \mathbb{F}_p^n \rightarrow \mathbb{F}_p^N$是一个函数，使得$\phi(x+y) - \phi(x) - \phi(y)$取值于某集合$S$，则存在线性映射$\tilde{\phi} : \mathbb{F}_p^n \rightarrow \mathbb{F}_p^N$，满足$\phi - \tilde{\phi}$至多取$|S|^{O(1)}$个值。该猜想的一个强变体陈述道：事实上，存在线性映射$\tilde{\phi}$使得$\phi - \tilde{\phi}$取值于$tS$(对某常数$t$)。在本注记中，我们讨论该猜想的一个反例。