整数与有限域中多项式Freiman-Ruzsa（Marton）猜想的谱稳定性解法

我们解决了整数和循环群中多项式Freiman-Ruzsa（PFR/Marton）猜想。更准确地说，我们证明如果 $A$ 是 $\mathbb{Z}$ 或 $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ 中的有限子集，且 $|A+A| \le K|A|$，则存在一个指数至多为 $K^{O(1)}$ 的子群 $H$，使得 $A$ 被指数至多为 $K^{O(1)}$ 个 $H$ 的陪集所包含。该证明基于一种新的 $L^4$ 傅里叶质量的谱稳定性二分法：要么这种质量集中在大小为 $K^{O(1)}$ 的跨度上，要么在经过指数至多为 $K^{O(1)}$ 的商后，$A$ 像的扩张常数按 $K$ 的某个确定幂次降低。通过Freiman建模将该二分法传递到循环群中，获得多项式Bogolyubov型界限，并推导出在 $\mathbb{Z}$ 和 $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ 中的Marton猜想。作为推论，我们也恢复并扩展了有限域中Marton猜想的形式：在奇特征情况下，我们获得直接的谱证明；而结合Green、Gowers、Manners和Tao在特征2情况下的结果，可完整解决所有有限域的猜想。就有限域之外的情形而言，我们回顾了有界指数阿贝尔群中该定理的形式。