凸规划的无坐标条件数

我们针对与正则锥 C ⊆ R^n 相关的齐次凸可行性问题，引入并分析了 Renegar 条件数 R 的一个自然几何版本。令 Gr_{n,m} 表示 R^n 的 m 维线性子空间的 Grassmann 流形，并考虑 Gr_{n,m} 中 W_1 与 W_2 之间的投影距离 d_p(W_1,W_2) := ||Π_{W_1} - Π_{W_2}||（谱范数），其中 Π_{W_i} 表示到 W_i 上的正交投影。我们称 C_G(W) := max {d_p(W,W')^{-1} | W' ∈ Σ_m} 为 Gr_{n,m} 中 W 的 Grassmann 条件数，其中不适定实例集 Σ_m ⊂ Gr_{n,m} 定义为与 C 相切的线性子空间集。我们证明，若 W = im(A^T) 对于矩阵 A ∈ R^{m×n}，则 C_G(W) ≤ R(A) ≤ C_G(W) κ(A)，其中 κ(A) = ||A|| ||A^†|| 表示矩阵条件数。这推广了 Belloni 与 Freund 在 Math. Program. 119:95-107 (2009) 中的工作。此外，我们证明 C_G(W) 同样可以用 Gr_{n,m} 上的 Riemann 距离度量来刻画。这一关于 C_G(W) 的微分几何刻画是本文续篇 [arXiv:1112.2603] 的出发点，该续篇首次实现了对任意正则锥 C 的 Renegar 条件数的概率分析。