从 $\mathcal{E}$ 集到 $R$ 集及更远的连续过渡

Hayman 于 1960 年引入的著名 $\mathcal{E}$ 集是复平面中 Euclidean 圆盘的集合，具有以下性质：使得射线 $\arg(z)=\theta$ 与给定 $\mathcal{E}$ 集中的无穷多个圆盘相交的角度 $\theta$ 之集合的线性测度为零。$\mathcal{E}$ 集的一个重要特例被称为 $R$ 集。这些集合出现在复微分与函数方程理论的众多论文中。本文提供了从 $\mathcal{E}$ 集到 $R$ 集、再到更稀疏集合的连续过渡。除射线外，还将考虑源自指数多项式零点分布理论的平面曲线。结果表明，几乎所有此类曲线与该所论集合中的至多有限个圆盘相交。在单位圆盘 $\mathbb{D}$ 的情形下给出了类似的讨论，其中曲线切向或非切向地趋于边界 $\partial\mathbb{D}$。最后，这些发现将被用于改进亚纯函数的对数导数、对数差分和对数 $q$-差分的著名估计，以及改进关于例外集的标准结果。