S\'os 排列的逆转以仰差递推关系刻画

在三角间隙定理的证明中,引入了一类称为 S\'os 排列的排列。已知,S\'os 排列作为序列满足某种递推关系(S\'os 的递推),但是否反过来仍是未知的。另一方面,S\'os 排列的逆转也已被研究。有报道称,此类排列作为序列满足仰差递推关系。该事实的逆问题,即是否满足仰差递推关系的排列是 S\'os 排列的逆转,也尚未解决,仅针对排列的有限个度数进行了研究。本文将满足仰差递推关系的排列集合与其他排列集合相关联,并给出它们基数的上界。这些上界实际上是紧的。特别地,满足仰差递推关系的排列集合的基数等于 S\'os 排列的基数,从而作为推论给出了上述未解问题的肯定答案。作为另一个推论,我们证明了所有被视为直径为 1 的仰差准进列的数列,即由排列度数的一次差模组成的集合是一个单子集或由两个连续整数组成的集合,都是应用于 S\'os 排列的逆转的一个基本操作称为平移后得到的 S\'os 排列。作为这些事实的应用,我们提出了一个程序,可以将给定度数的 S\'os 排列的逆转集合提升到度数增加一个单位的同一类型的集合,无需引用定义 S\'os 排列或与之相关的 Farey 序列的参数。