与给定函数类中差分方程组可解性相关联的一个基数

令 $\R^\R$ 表示定义在实直线上的实值函数集合。若存在实数 $a_i, b_i \ (i=1,..., n)$ 使得对每个 $f\in \R^\R$ 和 $x\in \R$ 都有 $(Df)(x)=\sum_{i=1}^n a_i f(x+b_i)$，则映射 $D: \R^\R \to \R^\R$ 称为{\it 差分算子}。{\it 差分方程组}是指一组方程 $S={D_i f=g_i : i\in I}$，其中 $I$ 是任意指标集，$D_i$ 是差分算子，$g_i$ 是每个 $i\in I$ 给定的函数，而 $f$ 是未知函数。可以证明，方程组 $S$ 可解当且仅当 $S$ 的每个有限子系统均可解。然而，如果我们寻找属于给定函数类的解，则类似的命题不再成立。例如，存在一个方程组 $S$，其每个有限子系统都有一个三角多项式解，但 $S$ 本身没有此类解。这一现象激发了以下定义。设 ${\cal F}$ 为一个函数类。${\cal F}$ 的{\it 可解性基数} $\solc (\iF)$ 是最小的基数 $\kappa$，使得每当 $S$ 是一个差分方程组，且 $S$ 的每个基数小于 $\kappa$ 的子系统在 ${\cal F}$ 中都有解时，$S$ 本身在 ${\cal F}$ 中也有解。在本文中，我们确定了分析学中出现的绝大多数函数类的可解性基数。结果表明，$\solc ({\cal F})$ 的行为相当不规则。例如，$\solc (\text{polynomials})=3$，但 $\solc (\text{trigonometric polynomials})=\omega_1$；$\solc ({f: f\ \text{is continuous}}) = \omega_1$，但 $\solc ({f: f\ \text{is Darboux}}) =(2^\omega)^+$，且 $\solc (\R^\R)=\omega$。我们一致地确定了 Borel、Lebesgue 和 Baire 可测函数类的可解性基数，并对 Baire 1 类和 Baire $\alpha$ 类函数给出了一些部分答案。