源于 Riemann zeta 函数的典范微分方程组

本文有两个主要结果，涉及通过函数族 $\Theta_\omega(z)=\xi(1/2-\omega-iz)/\xi(1/2+\omega-iz)$ 给出的 Riemann 假设的判据，其中 $\omega>0$ 为实参数，$\xi(s)$ 为 Riemann xi 函数。第一个主要结果是 $\Theta_\omega$ 在上半平面为亚纯内函数的充分必要条件。$\Theta_\omega$ 是否为亚纯内函数与 Riemann 假设直接相关。与此相比，Riemann 假设与第二个主要结果的关联是间接的。它涉及 de Branges 理论，该理论将亚纯内函数与典范线性微分方程组（de Branges 意义下）联系起来。作为第二个主要结果，在参数限制 $\omega >1$ 下，通过将 J.-F. Burnol 在其近期关于 gamma 函数的工作中的方法应用于 Riemann xi 函数，显式且无条件地构造了与 $\Theta_\omega$ 相关的典范系统。如果将此构造无条件地推广至所有 $\omega > 0$，我们将得到一个以 $\omega>0$ 为参数的典范系统族表述的 Riemann 假设判据，这解释了 Riemann 假设的有效性体现为相应 Hamilton 矩阵族的半正定性。