多边形域上具有 Dirichlet 边界条件的双调和问题的 $C^0$ 有限元方法

本文研究多边形域上具有 Dirichlet 边界条件的双调和方程。特别地，我们提出一种方法，将四阶问题有效解耦为两个 Poisson 方程和一个 Stokes 方程组成的系统，或一个 Stokes 方程和一个 Poisson 方程组成的系统。结果表明，在凸和非凸多边形域上，每个系统的解均等价于原四阶问题的解。进而提出两种有限元算法求解解耦系统。此外，我们给出了各解耦系统在 Sobolev 空间和加权 Sobolev 空间中解的正则性，并推导了在拟一致网格和分级网格上数值解的最优误差估计。数值试验结果验证了理论发现。