$B$ 限制克隆多项式及其与塔纳不等式的联系

设 $G$ 为有限简单图且 $B \subseteq V(G)$。我们研究了包含顶点子集结构属性的 \emph{$B$ 限制克隆多项式} $C_B(G;x)$，包括允许顶点重复的加权版本。首先，我们为 $C_B(G;x)$ 建立完整的删除理论，包括推广经典克隆多项式结果的顶点和边递推式。这些递推式给出了最大负根 $\zeta_G(B)$ 的单调性原理：它在诱导子图下单调，在生成子图下反单调。因此，我们推导出 $B$ 独立数、色数、$B$ 环径以及 Hamilton 性约束的显式下界，表明 $\zeta_G(B)$ 作为统一的局部不变量。接下来，我们将 $B$ 克隆多项式与谱图论相结合。对于 $(n,d,\lambda)$ 图，谱技术，包括扩张混合引理和塔纳不等式，提供了 $B$ 限制克隆系数的统一下界，表明 $B$ 中克隆的增长由谱间隙自然受控。最后，我们表明加权 $B$ 克隆多项式编码了 \emph{同态约束}。具体而言，若 $f: G \to H$ 为将 $B_G$ 映射到 $B_H$ 的满同态，则 $\zeta_G(B_G) \ge \zeta_H(B_H)$，从而基于 $B$ 根的局部 \emph{无同态准则}。总体而言，$C_B(G;x)$ 提供了统一框架，捕获顶点受限分析中的组合、谱和同态信息，凸显其在全局和局部结构洞察方面的强大功能。