旅行商问题半整数圈割实例的 4/3 近似算法
数据结构与算法
2023-07-11 v2 最优化与控制
摘要
旅行商问题（TSP）的一个长期猜想指出，TSP 标准线性规划松弛的完整性间隙至多为 4/3。尽管付出了巨大努力，该猜想仍未得到解决。我们考虑半整数情况，其中 LP 解的值在 中。此类实例被猜想为整体三分之四猜想中最困难的实例。Karlin、Klein 和 Oveis Gharan 在一项突破性成果中证明，在半整数情况下，完整性间隙至多为 1.49993。这一结果带来了几十年来对该整体猜想的首次重大进展；同一作者证明，在非半整数情况下，完整性间隙至多为 。对于半整数情况，目前已知的最佳比率是 1.4983，这是 Gupta 等人的结果。鉴于即使在半整数情况下，对 3/2 界的改进仍然非常渐进，我们转变问题方向，寻找一大类半整数实例，对于这些实例我们可以证明 4/3 猜想是正确的。先前关于半整数情况的工作在 LP 解的支持图的关键紧集层次结构上进行归纳，其中一些集合对应于“圈割”，另一些对应于“度割”。我们证明，如果层次结构中的所有集合都对应于圈割，那么我们可以找到一个旅行环游分布，其期望成本至多为半整数 LP 解值的 4/3 倍；从该分布中采样为我们提供了一个随机化的 4/3 近似算法。我们注意到，已知的完整性间隙坏例具有 4/3 的间隙，并且具有一个半整数 LP 解，其中层次结构中的所有关键紧集都是圈割；因此我们的结果是紧的。
引用
@article{arxiv.2211.04639,
title = {A 4/3-Approximation Algorithm for Half-Integral Cycle Cut Instances of the TSP},
author = {Billy Jin and Nathan Klein and David P. Williamson},
journal= {arXiv preprint arXiv:2211.04639},
year = {2023}
}
备注
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