具有指定系数和的不可约多项式
数论
2016-05-03 v1
摘要
设 q 为素数的幂，F_q 为含 q 个元素的有限域，且 n ≥ 2。对于次数 n ∈ N 的多项式 h(x) ∈ F_q[x] 以及子集 W ⊆ [0,n] := {0, 1, …, n}，我们定义数位和函数 S_W(h) = ∑_{w ∈ W}[x^w] h(x) 为 h(x) 中所有满足 w ∈ W 的 x^w 的系数之和。在 q = 2 的情形下，我们证明除少数真正的例外之外，对于任意 c ∈ F_2 以及任意 W ⊆ [0,n]，存在一个定义在 F_2 上的 n 次不可约多项式 P(x) 使得 S_W(P) = c。特别地，局限于 #W = 1 的情形，我们获得了 q = 2 时 Hansen-Mullen 不可约性猜想（现已成为定理）的一个新证明。在 q > 2 的情形下，我们证明对于任意 c ∈ F_q、任意 n ≥ 2 以及任意 W ⊆ [0,n]，存在一个 n 次不可约多项式 P(x) 使得 S_W(P) ≠ c。
引用
@article{arxiv.1605.00351,
title = {Irreducible polynomials with prescribed sums of coefficients},
author = {Aleksandr Tuxanidy and Qiang Wang},
journal= {arXiv preprint arXiv:1605.00351},
year = {2016}
}
备注
arXiv admin note: text overlap with arXiv:1604.04023