差集与多项式

我们给出了集合 $\{1,2,\dots,N\}$ 的最大子集的上界，这些子集不含形如 $h_1(n_1)+\cdots+h_{\ell}(n_{\ell})$（其中 $n_i\in \mathbb{N}$）或 $h_1(p_1)+\cdots+h_{\ell}(p_{\ell})$（其中 $p_i$ 为素数）的差，这里 $h_i\in \mathbb{Z}[x]$ 分别属于所谓的交叉多项式和 $\mathcal{P}$-交叉多项式类。例如，我们证明对于固定的 $j,k\in \mathbb{N}$，不含形如 $n^j+m^k$ 的非零差的 $\{1,2,\dots,N\}$ 的子集，其密度至多为 $e^{-(\log N)^{\mu}}$，其中某个 $\mu=\mu(j,k)>0$。我们的结果通过改编两种傅里叶分析、圆法驱动的策略获得，恢复或改进了先前针对单个多项式的所有结果。更新：尽管本预印本中的结果和证明是正确的，但主要结果（定理1.1）在发表前已被一篇新论文（https://arxiv.org/abs/1612.01760）超越，该论文以远低的技术性给出了更好的结果，感兴趣的读者应参考该文。