扩张图上的顶点渗流

若对于某个常数 $\beta>0$，$n$ 个顶点上的图 $G=(V,E)$ 满足：对于每一个基数 $|U|\leq \frac{n}{2}$ 的子集 $U\subseteq V$，均有 $|N_G(U)|\geq \beta|U|$（其中 $N_G(U)$ 表示 $U$ 的邻域），则称该图为 $\beta$-扩张图。在本文中，我们探讨了以概率 $n^{-\alpha}$（$\alpha>0$ 为某常数）独立随机删除 $\beta$-扩张图顶点的过程，并研究了所得图的性质。我们的主要结果表明，当 $n$ 趋于无穷大时，对有界度 $\beta$-扩张图执行的删除过程将以高概率产生一个由包含 $n-o(n)$ 个顶点的巨分量（其本身也是一个扩张图）和常数大小分量组成的图。随后，我们将主要结果应用于具有正谱隙的扩张图。针对作为此类扩张图的 $(n,d,\lambda)$-图，我们在图的附加约束下计算了 $\alpha$ 的值，使得所得图以高概率保持连通，或由一个巨分量和孤立顶点组成。由于从 $d$-正则图的均匀概率空间中采样的图以高概率是扩张图并满足附加约束，这一结果加强了 Greenhill、Holt 和 Wormald 近期关于随机 $d$-正则图上顶点渗流的结果。最后，我们证明了对那些以无界扩张比扩张次线性集合的图执行上述删除过程，将以高概率产生一个连通的扩张图。