算子方法、阿贝尔过程与动态条件化

基于算子代数方法的连续时间金融数学框架为该领域提供了一种新的直接且完全构造性的视角，并引出了新的数值分析技术。本文部分是一篇综述，涵盖并扩展了一系列更具应用性文章背后的数学框架。此外，本文还提出了一些关键的新定理，使论述自成体系。通过在单纯序列上建立马尔可夫链的新收敛估计，构造性地定义了具有连续时间和连续空间变量的随机过程。我们强调通过数值线性代数方法实现高精度可计算性，而非追求用特殊函数表示的解析闭式解。适应给定马尔可夫滤子的路径依赖过程与一个算子代数相关联。如果该代数是交换的，则相应过程被称为阿贝尔过程，这一概念提供了随机积分概念的深远扩展。我们将经典的 Cameron-Dyson-Feynman-Girsanov-Ito-Kac-Martin 定理恢复为广泛通用的块对角化算法的特例。该技术有许多应用，范围从 cliquet 期权定价到目标赎回票据和波动率衍生品。非阿贝尔过程也具有重要意义，并出现在若干重要应用中，例如雪球期权和软赎回条款。我们表明，在这些情况下可以有效地使用块分解算法。最后，我们讨论了动态条件化方法，该方法允许在数值无噪声的框架内动态关联可能多达数百个过程，同时保持边缘分布。