求解非线性薛定谔方程的高阶分裂算法及其不稳定性

由于实时间非线性薛定谔方程的动能项和势能项均可精确求解，整个方程可通过分裂算法求解至任意阶。我们通过数值求解 Gross-Pitaevskii 方程验证了一些知名算法的四阶收敛性。所有此类分裂算法即使在其总能量守恒极好的情况下，也存在潜在数值不稳定性。详细的误差分析表明，噪声或非线性薛定谔方程的元激发服从 Bogoliubov 谱，而不稳定性源于分裂过程引起的高波数噪声的指数增长。对于连续波函数，无论时间步长多小，这种不稳定性都无法避免。对于离散波函数，仅当 $\dt k_{max}^2{<\atop\sim}2 \pi$ 时可避免不稳定性，其中 $k_{max}=\pi/\Delta x$。