数值分析中的等价定理：积分、微分与插值

我们表明，如果将数值方法表述为作用于数据并依赖于参数（通常是离散化尺度的度量）的算子序列，那么相容性、收敛性和稳定性可以通过 Lax-Richtmyer 型等价定理相互关联——即一个相容的方法当且仅当它是稳定的时候才是收敛的。我们将相容性定义为在稠密子空间上的收敛性，将稳定性定义为离散适定性。在某些应用中，由于收敛性证明需要了解解的信息，因此比证明相容性或稳定性更为困难。等价定理在此类情形中非常有用。我们给出了多项式插值、数值微分、使用求积法则的数值积分以及蒙特卡洛积分的等价定理的具体实例。