完全可约性与可分性

设 G 为特征 p > 0 的代数闭域上的约化线性代数群。若 G 的子群的全局中心化和无穷小中心化具有相同的维数，则称该子群在 G 中是可分的。我们研究了可分性概念与 Serre 关于 G 的子群的 G-完全可约性概念之间的相互作用。可分性假设出现在许多关于 G-完全可约性的通用定理中。我们证明了若无此假设，许多此类结果将不再成立。另一方面，我们证明了若 G 是连通约化群且 p 对 G 是非常好的素数，则 G 的任何子群都是可分的；由此推导出在这些关于 G 的假设下，若 G 的 Lie 代数作为 H-模是半单的，则 G 的子群 H 是 G-完全可约的。最近，Guralnick 证明了若 H 是 G 的约化子群且 C 是 G 的一个共轭类，则 C 与 H 的交集是有限个 H-共轭类的并集。对于generic p——当某些额外假设（包括可分性）成立时——这一结论可由 Richardson 提出的著名的切空间论证得出，但一般情况下，它依赖于 Lusztig 的深刻结果，即连通约化群只有有限多个幂零共轭类。我们表明，若考虑 H 中 n 元组元素的共轭类（n > 1），则 Guralnick 结果的类比是不成立的。