基于受限均值定理的调和函数

设 $f$ 为有界域 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ 上的函数，$\delta$ 为 $\Omega$ 上的正函数，使得 $B(x,\delta(x))\subseteq \Omega$。令 $\sigma(f)(x)$ 为 $f$ 在球 $B(x,\delta(x))$ 上的平均值。受限均值定理讨论了在何种关于 $f,\delta,$ 和 $\Omega$ 的条件下，由 $\sigma(f)=f$ 可推出 $f$ 是调和函数。在本文中，我们研究了调和函数关于映射 $\sigma$ 的稳定性。人们通常预期，序列 $\sigma^n(f)$ 会收敛到一个调和函数。在我们的结果中，我们证明了：如果 $\Omega$ 是强凸的（或者对某个 $\alpha\in [0,1]$ 是 $C^{2,\alpha}$-光滑的），函数 $\delta(x)$ 是连续的，且 $f\in C^0(\bar \Omega)$（或者 $f\in C^{2,\alpha}(\bar \Omega)$），那么 $\sigma^n(f)$ 在 $\bar \Omega$ 上一致收敛于一个调和函数。