关于分数阶调和函数的平均值性质

众所周知，调和函数满足平均值性质，即函数在球上的平均值等于其在球心的值。这一事实自然引出一个问题：这是否为球的特征性质，即所有调和函数都满足平均值性质的集合是否必为球。该问题曾被若干学者研究，最终由 Ülkü Kuran 借助巧妙的初等方法优雅、完整且肯定地解决。这一经典问题近来由 Giovanni Cupini、Nicola Fusco、Ermanno Lanconelli 和 Xiao Zhong 加以充实，他们证明了平均值公式的定量稳定性结果，表明适当的“平均值间隙”（衡量调和函数在给定集合上的平均值与其逐点值之间的归一化差异）由该集合与球之间“间隙”的 Lebesgue 测度从下方界定（进而由该集合的 Fraenkel 不对称度界定）。亦即，若一个区域“几乎”满足平均值性质，则其必接近于球。本文研究这些结果的非局部对应物。特别地，我们将证明一个分类结果和一个稳定性结果，确立如下结论：若分数阶调和函数对给定区域满足适当的外部平均性质，则该区域必为球，且适当的“非局部平均值间隙”由该集合与球之间差异的适当测度从下方界定。与经典情形不同，我们的某些论证依赖于纯非局部性质，而无经典对应物，例如“所有函数在小误差范围内局部为分数阶调和”这一事实。