可实现性与局部化

设 $A$ 为一个微分分次代数，其上同调环为 $H^*A$。若 $H^*A$ 上的一个分次模（在直和项意义下）具有 $H^*M$ 的形式（其中 $M$ 为某个微分分次 $A$-模），则称该分次模为\emph{可实现}的。Benson、Krause 和 Schwede 提出了可实现性的局部障碍与全局障碍。全局障碍由 $H^*A$ 的 $A_{\infty}$-代数结构的二次乘法所确定的 Hochschild 类给出。在本论文中，我们主要考虑具有分次交换上同调环的微分分次代数 $A$。我们证明：一个有限呈现的分次 $H^*A$-模 $X$ 是可实现的，当且仅当对于 $H^*A$ 的所有分次素理想 $\mathfrak{p}$，其 $\mathfrak{p}$-局部化 $X_{\mathfrak{p}}$ 是可实现的。为了对全局障碍也获得这样的局部 - 全局原理，我们定义了\emph{微分分次代数 $A$ 在 $H^*A$ 的分次素理想 $\mathfrak{p}$ 处的局部化}（记为 $A_{\mathfrak{p}}$），并证明了存在一个微分分次代数态射，其在上同调中诱导了规范映射 $H^*A \to (H^*A)_{\mathfrak{p}}$。后一结果实际上在更一般的设定下也成立：我们证明了微分分次代数导出范畴上的每个 smashing 局部化均由一个微分分次代数态射诱导。最后，我们讨论了群上同调环上的模与 Tate 上同调环上的模的可实现性之间的关系。