楔形中的有向路径

有向路径在科学文献中被广泛用作线性聚合物的模型。此类路径模型特别描述了线性聚合物的构象熵及其对自由能的影响。这些有向模型是自回避行走的简化版本，但它们确实提供了对聚合物相行为的洞察，并可作为研究构象自由度对线性聚合物行为影响的工具。在本文中，我们考察了受限几何结构（楔形）中线性聚合物的有向路径模型。我们关注的重点是 $c_n$，即长度为 $n$ 步、沿东北和东南方向行进且被限制在楔形 $Y=\pm X/p$ 内的有向格点路径的数量，其中 $p$ 为整数。本文详细考察了 $p=2$ 的情形，并利用迭代核方法确定了生成函数。我们还考察了 $c_n$ 的渐近行为。特别是，我们证明了 $$c_n = [0.67874...]\times 2^{n-1}(1+(-1)^n) + O((4/3^{3/4})^{n+o(n)}) + o((4/3^{3/4})^n)$$ 其中我们可以毫不费力地以任意精度确定常数 $0.67874...$。