排列的莫比乌斯函数零点

我们证明，若排列$\pi$包含两个长度为2的区间，其中一个区间为升序而另一个为降序，则区间$[1,\pi]$的莫比乌斯函数$\mu[\pi]$为零。由此，我们证明长度为$n$且主莫比乌斯函数为零的排列比例渐近下界为$(1-1/e)^2\ge 0.3995$。这是首个确定渐近正比例的排列$\pi$之$\mu[1,\pi]$取值的结果。我们还证明，若排列$\phi$可表示为$\alpha \oplus 1 \oplus \beta$形式的直和，则任何包含与$\phi$阶同构的区间的排列$\pi$均有$\mu[1, \pi]=0$；我们从更一般的结果推得此结论：当$\pi$包含某种形式的区间时$\mu [\sigma, \pi]=0$。最后，我们证明若排列$\pi$包含同构于某些排列对的区间，或同构于某些长度为六的排列，则$\mu[1, \pi] = 0$。