Fourier 变换与 Laplace 变换的 Wronskian 行列式

对于 $\mathbb{R}$ 上给定的合适函数或测度，我们引入一个相关函数，使得该函数 Fourier 变换的 Wronskian 行列式等于相应相关函数的 Fourier 变换，且 Laplace 变换亦成立。我们得到了两类结果。首先，我们证明 $\mathbb{R}$ 上非负函数 Fourier 变换的 Wronskian 行列式是正定函数，而 $\mathbb{R}_+$ 上非负函数 Laplace 变换的 Wronskian 行列式是完全单调函数。然后，我们建立了定义为正核 $K$ 的 Fourier 变换的实整函数属于 Laguerre-Pólya 类的充分必要条件，这回答了 Pólya 的一个古老问题。该刻画通过 Laguerre 和 Jensen 的经典结果并运用 Wiener 的 $L^1$ Tauberian 定理，以与 $K$ 相关的相关核的密度性质给出。作为推论，我们以与 Riemann $\xi$-函数相关的相关函数平移的密度，给出了 Riemann 假设的一个充分必要条件。