哪些例外低维投影的高斯点云可以在多项式时间内找到？

给定 $d$ 维标准高斯向量 $\boldsymbol{x}_1,\dots, \boldsymbol{x}_n$，我们考虑其所有 $m$ 维投影的经验分布，其中 $m$ 为固定常数。Diaconis 和 Freedman (1984) 证明，如果 $n/d\to \infty$，则所有此类分布收敛于标准高斯分布。相反，我们研究比例渐进，即 $n,d\to \infty$ 且 $n/d\to \alpha \in (0, \infty)$。在这种情况下，数据点在典型随机子空间上的投影仍为高斯分布，但由所有可作为 $m$ 维投影的概率分布组成的集合 $\mathscr{F}_{m,\alpha}$ 包含对应例外子空间的非高斯分布。统计物理中非严谨的方法可通过广义 Parisi 公式间接地 characterize $\mathscr{F}_{m,\alpha}$。为了将此公式置于严谨基础之内，并理解这些投影是否可被有效找到，我们研究子集 $\mathscr{F}^{\rm alg}_{m,\alpha}\subseteq \mathscr{F}_{m,\alpha}$，其由一类迭代算法实现。我们证明，该集合可由某种随机最优控制问题 characterize，并通过扩展 Parisi 公式的变分原理对该问题进行对偶 characterization。作为副产品，我们获得了包含“广义球形感知器”模型等一类随机优化问题的可计算值。