玩飞镖时应站在何处？

本文分析了玩飞镖时应站在何处的问题。若站在距离 $d>0$ 处并瞄准 $a\in \mathbb{R}^n$，则飞镖（由 $\mathbb{R}^n$ 中的随机向量 $X$ 建模）击中的随机点为 $a+dX$。接着，给定收益函数 $f$，考虑 $$\sup_a Ef(a+dX)$$ 并问其是否随 $d$ 递减；即，是否离靶越近越好。或许令人惊讶的是，情况并非总是如此，而理解其何时发生或不发生正是本文的目的。我们证明，若 $X$ 具有所谓的自分解分布，则对任意收益函数，站得越近总是越好。该类分布包含所有稳定分布以及更多分布。另一方面，若收益函数为 $\cos(x)$，则当且仅当特征函数 $|\phi_X(t)|$ 在 $[0,\infty)$ 上递减时，站得越近总是越好。随后我们将证明，若存在至少两个点质量，则使用 $\cos(x)$ 时并非总是站得越近越好。若只有一个点质量，可找到另一收益函数以产生此现象。另一大类飞镖 $X$（存在有界连续收益函数使得并非总是站得越近越好）是具有紧支撑的分布。这将通过此类分布的傅里叶变换在复平面上有零点这一事实得到。只要傅里叶变换有复零点，该论证即成立。最后，我们分析了“站得越近越好”这一性质在卷积和/或极限下是否封闭。