何时几乎所有集合都由差集主导

我们研究了依附于 {0,1,...,N} 子集的和集与差集大小之间的关系，该子集是根据参数为 p(N) 的二项式模型随机选择的，其中 N^{-1} = o(p(N))。我们证明，对于任何趋于零的 p(N) 选择，当 N --> oo 时，随机子集几乎必然由差集主导，从而证实了 Martin 和 O'Bryant 的猜想。证明使用了近期的强集中结果。此外，我们展示了关于差集与和集大小比值的阈值现象。若 p(N) = o(N^{-1/2})，则随机子集中几乎所有和与差几乎必然互异，特别是差集大小几乎必然是和集的两倍左右。若 N^{-1/2} = o(p(N))，则和集与差集的大小几乎必然均为 (2N+1) - O(p(N)^{-2})，因此所涉比值几乎必然非常接近 1。若 p(N) = c N^{-1/2}，则随着 c 从零增加到无穷大 (即跨越阈值时)，同一比值几乎必然根据一个显式给出的 c 的函数，从 2 连续下降到 1。我们将结果扩展到了依附于任意一对二元线性形式的广义差集的比较。对于某些形式对 f 和 g，我们证明实际上在 c_{f,g} N^{-1/2} 处存在一个尖锐阈值 (其中 c_{f,g} 为某可计算常数)，使得一种形式在阈值下几乎必然占主导，而另一种在阈值上几乎必然占主导。我们方法的核心涉及使用不同工具，针对参数 p 的各种范围，获得和集与差集大小围绕其均值的高度集中。