发电机产生的极向磁场的一些初边值问题的适定性

给定有界区域 $G \subset \R^d$, $d\geq 3$，我们研究 $G$ 中具有非常数系数的线性抛物型方程的光滑解，这些解在边界上必须与 $\R^d \setminus \ov{G}$ 中在空间无穷远处消失的某个调和函数 $C^1$ 匹配。当考虑某些发电机产生的磁场时，该问题出现在磁流体动力学框架中：例如，在轴对称或非径向流场的情况下，磁场的极向标量满足上述问题。我们首先研究 $G$ 中具有上述边界条件的泊松问题以及相关的特征值问题，并证明光滑解的存在性。作为副产品，我们得到了当 $G$ 为球时，著名的极向“自由衰减模式”在 $\R^3$ 中的完备性。然后基于这些特征函数通过Galerkin逼近得到演化问题的光滑解。