加权随机流行匹配

对于包含 n 个申请者的集合 A 和 m 个物品的集合 I，我们考虑计算从申请者到物品的匹配（即从 A 映射到 I 的函数 M）的问题；此处假设每个申请者 $x \in A$ 提供关于 I 中物品的偏好列表。若物品 p 在偏好列表中的位置高于物品 q，则称申请者 $x \in A$ 偏好物品 p 胜过物品 q；若 x 偏好 M(x) 胜过 M'(x)，则称 x 偏好匹配 M 胜过匹配 M'。对于给定的匹配问题 A、I 及偏好列表，若偏好 M 胜过 M' 的申请者数量多于偏好 M' 胜过 M 的申请者数量，则称 M 比 M' 更流行；若不存在比 M 更流行的其他匹配，则称 M 为流行匹配。本文考虑 A 被划分为 $A_{1},A_{2},...,A_{k}$ 的情形，且每个 $A_{i}$ 被赋予权重 $w_{i}>0$，满足 $w_{1}>w_{2}>...>w_{k}>0$。对于此类匹配问题，若偏好 M 胜过 M' 的申请者的总权重大于偏好 M' 胜过 M 的申请者的总权重，则称 M 比 M' 更流行；若不存在比 M 更流行的其他匹配，则称 M 为 k 加权流行匹配。本文分析了 2 加权匹配问题，并证明：（下界）若 $m/n^{4/3}=o(1)$，则满足 $w_{1} \geq 2w_{2}$ 的 2 加权匹配问题的随机实例存在 2 加权流行匹配的概率为 o(1)；（上界）若 $n^{4/3}/m = o(1)$，则满足 $w_{1} \geq 2w_{2}$ 的 2 加权匹配问题的随机实例存在 2 加权流行匹配的概率为 1-o(1)。