网、Nijenhuis 算子与天方程偏微分方程
微分几何
2023-04-19 v3
摘要
1989 年 Mason 与 Newman 证明，满足 Einstein 真空方程的自对偶度量（复情形或中性号差情形）与依赖于参数的两两对易向量场 之间存在一一对应，这些向量场关于某体积形式是无散的。更早（1975 年）Pleba\'nski 给出了此类依赖于四变量一个函数的向量场实例，满足所谓的 I 型或 II 型 Pleba\'nski 天方程偏微分方程。文献中亦知其他导出 Mason--Newman 向量场的偏微分方程：Husain--Park（1992--94）、Schief（1996）。本文在网论（即流形上叶状结构族的理论，从 Nijenhuis 算子的视角理解）背景下讨论这些事项。特别地，我们展示了如何应用该理论基于 4 维 Nijenhuis 算子的不同范式构造新的“天方程”偏微分方程，它们与其前身类似可积。我们建立了与 Hirota 无弥散偏微分方程系统及相应 Veronese 网的关系（近来由 Konopelchenko--Schief--Szereszewski 观察到）在所有情形下的联系。我们还讨论了“天方程”偏微分方程的一些高维推广，以及在 4 维情形下相关真空 Einstein 度量的存在性。
引用
@article{arxiv.2211.03197,
title = {Webs, Nijenhuis operators, and heavenly PDEs},
author = {Andriy Panasyuk and Adam Szereszewski},
journal= {arXiv preprint arXiv:2211.03197},
year = {2023}
}
备注
34 p. Second revisited version of the paper submitted to the arXiv on November 6, 2022: minor stylistic improvements, more explicit formulas, corrected terminology, added references and acknowledgements