波动螺旋及其与啁啾信号的分形联系

我们研究一类实 $C^1$ 函数 $x=x(t)$ 在 $t=\infty$ 附近的分形振荡性。该性质通过振荡维数和相维数来度量，前者定义为 $X(\tau)=x(\frac{1}{\tau})$ 的图像在 $\tau=0$ 附近的盒维数，后者定义为 $\mathbb{R}^2$ 中轨迹 $(x,\dot{x})$ 的盒维数，此处假设 $(x,\dot{x})$ 为收敛于原点的螺旋线。利用本文引入的啁啾信号图像和非可求长波动螺旋的盒维数公式，我们建立了这两类维数在一类振荡函数中的关系。波动螺旋是螺旋线的一种特定类型，由极坐标 $r=f(\varphi)$ 给出，其作为 $\varphi$ 的函数以非单调方式收敛于原点。它们出现在我们与 Bessel 方程解相关的相平面研究中。此外，本文还研究了可求长的啁啾信号和螺旋线。