小波变换与傅里叶变换之比较

本文是对小波非常基础的介绍。它从通过伸缩与平移构造的分段常值函数的正交基开始。“小波变换”将每个 $f(x)$ 映射为它关于该基的系数。其数学原理简单且变换快速（快于我们简要解释的快速傅里叶变换），但用分段常值逼近效果很差。为改进这一最初的小波，我们引出伸缩方程及其反常解。我们构造了高阶小波，且令人惊讶地发现用它们计算非常快——总是间接且递归地进行。我们就这些变换在信号处理尤其是视频与图像压缩（包括高清电视）中的较量做了非正式评论。迄今为止傅里叶变换——或其 8×8 加窗版本离散余弦变换——常被选用。但小波已具竞争力，且在指纹识别上领先。我们给出这一发展中理论的一个样例。