有限辛群的波前集与下降法

在 \cite{JZ1} 中，D. Jiang 与 L. Zhang 提出了一个猜想，将局部域情形下的波前集与下降法联系起来。最近，在 \cite{JLZ} 中，他们与 D. Liu 定义了定义在局部域 $k$ 上的典型群 $G(k)$ 的某不可约容许表示 $\pi$ 的算术波前集，它是 $G(k)$ 的李代数的 $k$-有理幂零轨道的子集，由 $\pi$ 的增强 L-参数的算术结构给出。这些算术结构基于局部朗兰兹对应的有理性与局部 Gan-Gross-Prasad 猜想。他们还证明了算术波前集是 $\pi$ 的不变量（它独立于 Whittaker 基准的选择 \cite[Theorem 1.1]{JLZ}），并提出了若干猜想来描述算术波前集、解析波前集与代数波前集之间的关系。本文研究有限辛群不可约表示的波前集，并描述波前集、下降法与有限 Gan-Gross-Prasad 问题之间的关系。Gan-Gross-Prasad 问题的有限域情形可被显式计算 \cite{LW3,Wang1,Wang2}。它使我们能够计算广义 Gelfand-Graev 表示中对应于某些幂零轨道的不可约表示的多重性，这些幂零轨道是算术波前集的有限域类比。特别地，对于尖表示，我们给出了某个多重性一定理，并表明算术波前集的有限域类比与 G. Lusztig 和 N. Kawanaka 意义下的波前集一致。