VPVnet：低正则性下 Stokes 方程的速度-压力-涡量神经网络方法
数值分析
2021-12-15 v1 数值分析
摘要
我们提出 VPVnet，一种面向低正则性 Stokes 方程问题的深度神经网络方法。与近期基于偏微分方程原始形式提出的深度学习方法 [40,51] 不同，VPVnet 采用一阶速度-压力-涡量（VPV）形式（[30]）的最小二乘泛函作为损失函数。因此，损失函数中仅需一阶导数，该方法可适用于更广泛的一类问题，例如具有非光滑解的问题。尽管近期已有若干方法通过将原问题转化为相应的变分形式来降低正则性要求，但对于 Stokes 方程，速度与压力的逼近空间选取还需额外满足 LBB 条件。本文利用 VPV 形式，在无需考虑 LBB 条件的情况下实现了更低的正则性要求。我们建立了所提方法的收敛性与误差估计。值得强调的是，VPVnet 方法是无散度且压力鲁棒的，而经典的 Stokes 方程 inf-sup 稳定混合有限元并不具备压力鲁棒性。我们进行了包括二维与三维顶盖驱动腔体测试案例在内的多种数值实验，以证明其效率与精度。
引用
@article{arxiv.2112.07131,
title = {VPVnet: a velocity-pressure-vorticity neural network method for the Stokes' equations under reduced regularity},
author = {Yujie Liu and Chao Yang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2112.07131},
year = {2021}
}